【2次関数】センター試験の問題を解いてみる（2009年度）

2021年5月5日

問題【前編】

解答（解説）【前編】

ア・イ・ウ・エ・オ

①式を平方完成すると…

\(y=2\{x-(a+1)\}^2-2a^2+6a-1\)

よって、頂点は点\((a+1,-2a^2+6a-1)\)です。

カ・キ・ク

\(x\)軸と接する時は、判別式\(D=0\)となります。

\(D=b^2-4ac=\{-4(a+1)\}^2-4\cdot2\cdot(10a+1)=0\)

これを解くと…

\[a=\frac{3\pm\sqrt{7}}{2}\]

問題【後編】

解答（解説）【後編】

ケ・コ・サ

頂点が最小値となるためには、頂点の\(x\)座標が-1～3の間にある必要があります。したがって、\(-1\text{≦}a+1\text{≦}3\)より、

\[-2\text{≦}a\text{≦}2\]

シ・ス・セ

\(a<-2\)のときというのは、頂点が定義域の左外にある状況です。つまり、その時の最小値は定義域の左端のときです。つまり、\(x=-1\)のときに最小値を取るので、\(x=-1\)を①式に代入しましょう。すると…

\[m=14a+7\]

ソ・タ・チ

シスセと逆の考え方です。頂点が定義域の右外にあるので、定義域の右端の時に最小値をとります。つまり、\(x=3\)を①式に代入すればよいです。

\[m=-2a+7\]

ツ・テ・ト・ナ・ニ

\(-2\text{≦}a\text{≦}2\)のとき

\(-2a^2+6a-1=\frac{7}{9}\)を解くと、\(a=\frac{1}{3},\frac{8}{3}\)

\(-2\text{≦}a\text{≦}2\)より、\(a=\frac{1}{3}\)のみが該当します。

\(a<-2\)のとき

\(14a+7=\frac{7}{9}\)を解くと、\(a=-\frac{4}{9}\)

\(a<-2\)を満たしていないため、該当なしです。

\(a>2\)のとき

\(-2a+7=\frac{7}{9}\)を解くと、\(a=\frac{28}{9}\)

\(a>2\)を満たすので、該当します。

したがって、解答は

\[a=\frac{1}{3},\frac{28}{9}\]

まとめ

今回の問題を解く中で出てくる重要なポイントをまとめました。

というわけで、今回はここで終わりです。何か参考になる情報があれば嬉しいです。

最後までお読みいただき、ありがとうございました。